Công thức Dị thường thực

Từ vectơ trạng thái

Đối với các quỹ đạo elip, dị thường thực ν có thể được tính từ các vectơ trạng thái quỹ đạo theo công thức:

ν = arccos ⁡ e ⋅ r | e | | r | {\displaystyle \nu =\arccos {{\mathbf {e} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|e\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}} (nếu r ⋅ v < 0 thì thay ν bởi 2π − ν)

trong đó:

Đối với quỹ đạo tròn, dị thường thực là không xác định, bởi vì quỹ đạo tròn không có cận điểm duy nhất.

Từ dị thường tâm sai

Bài chi tiết: Dị thường tâm sai

Từ dị thường thực

Dị thường thực có thể được tính trực tiếp từ dị thường trung bình M và độ lệch tâm e bởi khai triển Fourier sau:[1]

ν = M + ( 2 e − 1 4 e 3 ) sin ⁡ M + 5 4 e 2 sin ⁡ 2 M + 13 12 e 3 sin ⁡ 3 M + O ⁡ ( e 4 ) {\displaystyle \nu =M+\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin {3M}+\operatorname {O} \left(e^{4}\right)}

trong đó O ⁡ ( e 4 ) {\displaystyle \operatorname {O} \left(e^{4}\right)} có nghĩa là các số hạng không xét đến đều chứa bậc e4 hoặc cao hơn. Lưu ý rằng sự chính xác của phép xấp xỉ này thường được giới hạn tới các quỹ đạo mà độ lệch tâm (e) là nhỏ.

Hiệu số ν − M {\displaystyle \nu -M} còn được gọi là phương trình tâm.

Tính bán kính từ dị thường thực

Bán kính (khoảng cách giữa vật thể quay và tiêu điểm hấp dẫn) liên hệ với dị thường thực bởi công thức

r = a 1 − e 2 1 + e cos ⁡ ν {\displaystyle r=a\,{1-e^{2} \over 1+e\cos \nu }\,\!}

trong đó a là bán trục lớn của quỹ đạo.